КЕЛЬВИНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

- преобразование функций, определенных в областях евклидова пространства Rⁿ,при к-ром гармонические функции переходят в гармонические. Получено У. Томсоном (лордом Кельвином, [1]).

Если и(х)- гармонич. функция в области то ее К. п. есть функция

гармоническая в области D*, получающейся из Dинверсией относительно сферы S_R={x : |x| = R}, т.е. отображением пространства Rⁿ, определяемым формулами

где х=( х ₁, ..., х _п),

При инверсии бесконечно удаленная точка беск. компактифицированного по Александрову пространства Rⁿ переходит в начало координат О, и наоборот. При К. п. гармонич. функции и(х). в областях D, содержащих оо, регулярные в т. е. такие, что переходят в гармонич. функции v(у). в ограниченных областях D*, содержащих начало координат О, причем v(0) = 0. Благодаря этому свойству, К. п. позволяет сводить внешние краевые задачи теории потенциала к внутренним, и наоборот (см. [2], [3]).

Кроме К. п., гармоничность функций в Rⁿ, сохраняется при аналитич. реобразованиях вида v(y) -j(y) и(y(у))только в случае, когда j(y)=1 и y есть отображение подобия, движение или симметрия относительно плоскости; при n=2 этим свойством обладает широкий класс конформных отображений y.

Лит.:[1] Thomson W., "J. math, pures et appl.", 1847, v. 12, p. 256-64; [2] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1976, гл. 5; [3] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964.

Е. Д. Соломенцев.